Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=6，a₄+a₆=20．
（Ⅰ）求通項(xiàng)a_n；
（II）設(shè)b_n=$\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此能求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（II）由已知求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為：a₁，公差為d，
∵a₃=6，a₄+a₆=20．
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{2{a}_{1}+8d=20}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2n…，（4分）
（II）∵b_n=$\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∴T_n=$\frac{n}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查利用“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用，屬于中檔題．