Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，n∈N﹡，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

1-(-1)n

2

a_n-

1+(-1)n

2

b_n，求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，由此求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ．{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，由此求出b_n=2n-1．
（2）c_n=

2n，n為奇數(shù) -(2n-1)，n為偶數(shù)

，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

解答： 解：（1）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+2．
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（6分）
（2）∵c_n=

1-(-1)n

2

a_n-

1+(-1)n

2

b_n
=

1-(-1)n

2

•2n-

1+(-1)n

2

•(2n-1)
=

2n，n為奇數(shù) -(2n-1)，n為偶數(shù)

，
∴T_2n=（2+2³+…+2^n-1）-[（3+7+…+（4n-1）]
=

2(1-4n)

1-4

-

n(3+4n-1)

2

=

22n+1-2

3

-2n²-n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．