Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+1-x-2．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x≥-1時，不等式f（x）≥

a

2

（x+1）²恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）將不等式f（x）≤x²恒成立進行轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)結(jié)合分類討論即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+1-x-2，
∴f′（x）=e^x+1-1，可得f′（x）=0的根為x=-1
 當x＜-1時，f′（x）＜0，可得函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）上為減函數(shù)；
當x＞-1時，f′（x）＞0，可得函數(shù)在區(qū)間（-1，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）≥f（-1）=0，
若a≤0，則

a

2

（x+1）²≤0≤f（x）成立，此時滿足條件．
若a＞0，令g（x）=f（x）-

a

2

（x+1）²，
則g′（x）=e^x+1-a（x+1）=h（x），
則h′（x）=e^x+1-a，
當x≥-1時，e^x+1≥1，
當0＜a≤1時，h′（x）≥0，此時h（x）在區(qū)間[-1，+∞）上為增函數(shù)．
∴h（x）≥h（-1）=0，即g′（x）＞0，∴g（x）的最小值為g（-1）=0．
當a＞1時，令h′（x）=0，解得x=lna-1＞-1，
當x∈（-1，lna-1）時，h′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
∴h（x）＜h（-1）＜0，
即g′（x）＜0，g（x）在（-1，lna-1）遞減，∴g（lna-1）＜g（-1）=0，
此時g（x）≥0不恒成立，
綜上實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系和應用，以及利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題，綜合性較強，運算量較大．