Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，點E為線段AB上異于A，B的點，且EF∥AD，沿EF將面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如圖2．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DFC；
（Ⅱ）當三棱錐F-ABE體積最大時，求平面ABC與平面AEFD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BE∥平面DFC、AE∥平面DFC，可得平面ABE∥平面DFC，即可證明AB∥平面DFC；
（Ⅱ）建立坐標系，利用三棱錐F-ABE體積最大時，確定點的坐標，可得向量的坐標，求出平面CBA的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面ABC與平面AEFD所成銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵BE∥CF，BE?平面DFC，CF?平面DFC，
∴BE∥平面DFC，
同理AE∥平面DFC，
∵BE∩AE=E，
∴平面ABE∥平面DFC，
∵AB?平面ABE，
∴AB∥平面DFC；
（Ⅱ）解：∵平面EBCF⊥平面AEFD，CF⊥EF，平面EBCF∩平面AEFD=EF，
∴CF⊥平面AEFD，
建立如圖所示的坐標系，設AE=x，則EB=2-x，
∴V_F-ABE=

1

3

•

1

2

x（2-x）•2=-

1

3

（x-1）²+

1

3

．
∴x=1時，三棱錐F-ABE體積最大，
∴A（2，1，0），B（2，0，1），C（0，0，3），
∴

CB

=（2，0，-2），

CA

=（2，1，-3），
設平面CBA的法向量為

m

=（x，y，z），則

x-z=0 2x+y-3z=0

，
∴

m

=（1，1，1），
∵平面AEFDA的一個法向量為

FC

=（0，0，2），
∴cos＜

m

，

FE

＞=

2

3 ×2

=

3

3

，
∴平面ABC與平面AEFD所成銳二面角的余弦值是

3

3

．

點評：本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運用平面與平面的平行、線面平行的判定，利用好空間向量是關鍵．