Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求CB₁與平面A₁AB所成角的正弦值；
（3）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥AC₁，AC₁⊥BA₁，由此能夠證明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）以C為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法能求出CB₁與平面A₁AB所成角的正弦值．
（3）求出平面A₁AB的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答： 解：（1）∵A₁在底面ABC上的射影為AC的中點D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如圖所示，以C為坐標原點建立空間直角坐標系，
∵AC₁⊥平面A1BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四邊形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中點，
∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，

3

），B（0，2，0），
C₁（-1，0，

3

），C（0，0，0），B₁（0，2，

3

），
∴

A1A

=（1，0，-

3

），

AB

=（-2，2，0），

CB1

=(0，2，

3

)，
設(shè)平面A₁AB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n

•

A1A

=0，

n

•

AB

=0，∴

x- 3 z=0 -2x+2y=0

，
令z=1，∴

n

=（

3

，

3

，1），
∴設(shè)CB₁與平面A₁AB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

CB1

，

n

＞|=|

0+2 3 + 3

7 × 7

|=

3 3

7

．
（3）平面A₁AB的法向量

n

=（

3

，

3

，1），
平面A₁BC的法向量

AC1

=（-3，0，

3

），
∴cos＜

AC1

，

n

＞=

-3 3 + 3

7 × 12

=-

7

7

，
設(shè)二面角A-A₁B-C的平面角為α，α為銳角，
∴cosα=

7

7

，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值為

7

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．