Question

如圖四棱錐S-ABCD中，底面是邊長為2厘米的正方形，側(cè)棱長都是2厘米．
（1）畫出該棱錐的三視圖，并標(biāo)明尺寸；
（2）求該棱錐中二面角A-SB-C的大小的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,簡單空間圖形的三視圖

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）正視圖與過P且與底面垂直的截面完全相同．
（2）利用正視圖頂角，就是面ASD與面BSC所成二面角的大小，利用余弦定理求出結(jié)果即可．

解答： 解：
（1）（如圖）幾何體的三視圖，正視圖中，PA與PD重合為PE，（E為AD是中點(diǎn)，PE⊥AD，PE=

3

），
PB與PC重合為PF，（F是BC的中點(diǎn)，并且PF⊥BC，PF=

3

）．
∵幾何體是正四棱錐，
∴側(cè)視圖與正視圖相同．…（6分
（等腰三角形（3分），底邊長（1分），腰長2分）                 
（2）四棱錐S-ABCD中，底面是邊長為2厘米的正方形，側(cè)棱長都是2厘米，
由（1）正視圖可知，平面ASD與平面BSC所成角就是正視圖中∠APB，
∴面ASD與面BSC所成二面角的大小的余弦值為：cos∠APB=

( 3 )2+( 3 )2-22

2× 3 × 3

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角的大小的求解和二面角的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．