【題目】 設函數,其中.
(Ⅰ)若,討論的單調性;
(Ⅱ)若,
(i)證明恰有兩個零點
(ii)設為的極值點,為的零點,且,證明.
【答案】(I)在內單調遞增.;
(II)(i)見解析;(ii)見解析.
【解析】
(I);首先寫出函數的定義域,對函數求導,判斷導數在對應區(qū)間上的符號,從而得到結果;
(II)(i)對函數求導,確定函數的單調性,求得極值的符號,從而確定出函數的零點個數,得到結果;
(ii)首先根據題意,列出方程組,借助于中介函數,證得結果.
(I)解:由已知,的定義域為,
且,
因此當時,,從而,
所以在內單調遞增.
(II)證明:(i)由(I)知,,
令,由,可知在內單調遞減,
又,且,
故在內有唯一解,
從而在內有唯一解,不妨設為,
則,當時,,
所以在內單調遞增;
當時,,
所以在內單調遞減,
因此是的唯一極值點.
令,則當時,,故在內單調遞減,
從而當時,,所以,
從而,
又因為,所以在內有唯一零點,
又在內有唯一零點1,從而,在內恰有兩個零點.
(ii)由題意,,即,
從而,即,
以內當時,,又,故,
兩邊取對數,得,
于是,整理得,
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【題目】某校計劃面向高一年級名學生開設校本選修課程,為確保工作的順利實施,先按性別進行分層抽樣,抽取了名學生對社會科學類,自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調查,其中男生有人.在這名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為人.
(Ⅰ)分別計算抽取的樣本中男生及女生選擇社會科學類的頻率,并以統計的頻率作為概率,估計實際選課中選擇社會科學類學生數;
(Ⅱ)根據抽取的名學生的調查結果,完成下列列聯表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為科類的選擇與性別有關?
選擇自然科學類 | 選擇社會科學類 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
附: ,其中.
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【題目】把函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到函數的圖象,已知函數 ,則當函數有4個零點時的取值集合為( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知△ABC的三個頂點A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為⊙H.
(1)若直線l過點C,且被⊙H截得的弦長為2,求直線l的方程;
(2)對于線段BH上的任意一點P,若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M,N,使得點M是線段PN的中點,求⊙C的半徑r的取值范圍.
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【題目】某公司為招聘新員工設計了一個面試方案:應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題,按照題目要求獨立完成規(guī)定:至少正確完成其中道題的便可通過.已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成,道題不能完成;應聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列,并計算其數學期望;
(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大?
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【題目】如圖,多面體ABCD﹣A1B1C1D1為正方體,則下面結論正確的是( )
A.A1B∥B1C
B.平面CB1D1⊥平面A1B1C1D1
C.平面CB1D1∥平面A1BD
D.異面直線AD與CB1所成的角為30°
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【題目】以下四個命題中錯誤的是( )
A.樣本頻率分布直方圖中的小矩形的面積就是對應組的頻率
B.回歸直線過樣本點的中心
C.若樣本的平均數是2,方差是2,則數據的平均數是4,方差是4
D.拋擲一顆質地均勻的骰子,事件“向上點數不大于3”和事件“向上點數不小于4”是對立事件
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某高三理科班共有名同學參加某次考試,從中隨機挑出名同學,他們的數學成績與物理成績如下表:
數學成績 | |||||
物理成績 |
(1)數據表明與之間有較強的線性關系,求關于的線性回歸方程;
(2)本次考試中,規(guī)定數學成績達到分為優(yōu)秀,物理成績達到分為優(yōu)秀.若該班數學優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為和,且除去抽走的名同學外,剩下的同學中數學優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學共有人,請寫出列聯表,判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為數學優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關?
參考數據:,;,;
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