Question

直線x-2y-1=0與拋物線y²=4x交于A，B兩點(diǎn)，C為拋物線上的一點(diǎn)，∠ACB=90°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（1，-2）或（9，-6）

．

Answer 1

分析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(t2，2t)，由題中直線與拋物線消去x，得y²-8y-4=0，結(jié)合韋達(dá)定理得y₁+y₂=8，y₁•y₂=-4；再利用直線方程得：x₁+x₂=18，x₁•x₂=1．根據(jù)∠ACB=90°得

CA

•

CB

=0，代入A、B、C坐標(biāo)并化簡(jiǎn)得t⁴-14t²-16t-3=0，解此方程并加以討論可得：t₁=-1，t₂=-3，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(t2，2t)，
由

x-2y-1=0 y2=4x

，得 y²-8y-4=0，
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，
得y₁+y₂=8…①，y₁•y₂=-4…②．
又∵x₁=2y₁+1，x₂=2y₂+1，
∴x₁+x₂=2（y₁+y₂）+2=18…③，x₁•x₂=4y₁•y₂+2（y₁+y₂）+1=1…④．
∵∠ACB=90°，
∴

CA

•

CB

=0，即(t2-x1)(t2-x2)+(2t-y1)(2t-y2)=0，
即t4-(x1+x2)t2+x1•x2+4t2-2(y1+y2)t+y1•y2=0，
即t⁴-14t²-16t-3=0，
將①②③④的值代入，得（t²+4t+3）（t²-4t-1）=0．
顯然t²-4t-1≠0，否則t²-2•2t-1=0，則點(diǎn)C在直線x-2y-1=0上，從而點(diǎn)C與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合．
因此t²+4t+3=0，解得t₁=-1，t₂=-3，得所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-2）或（9，-6）．
故答案為：（1，-2）或（9，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的弦AB，且在拋物線上存在一點(diǎn)C使∠ACB=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．著重考查了拋物線的方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與拋物線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．