Question

已知g（x）=|x-1|-|x-2|，則g（x）的值域?yàn)?!--BA-->

[-1，1]

；若關(guān)于x的不等式g（x）≥a²+a+1（x∈R）的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，-1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)絕對(duì)值的意義可得-1≤g（x）≤1，從而得到g（x）的值域．
由題意可得g（x）＜a²+a+1的解集為R，即g（x）＜a²+a+1恒成立，故有a²+a+1＞1，由此求得實(shí)數(shù)a
的取值范圍．

解答：解：由于已知g（x）=|x-1|-|x-2|，表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
則-1≤g（x）≤1，故g（x）的值域?yàn)閇-1，1]．
若關(guān)于x的不等式g（x）≥a²+a+1（x∈R）的解集為空集，則有g(shù)（x）＜a²+a+1的解集為R，
即g（x）＜a²+a+1恒成立，故有a²+a+1＞1，解得a＜-1，或a＞1．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案為[-1，1]、（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，函數(shù)的恒成立問題，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．