已知g（x）=
x
+1，h（x）=
1
x+3
，x∈（-3，a2]（a為常數(shù)且a＞0）．令f（x）=g（x）•h（x）
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（x）的值域．
分析：（1）已知兩函數(shù)相乘可得f（x）=g（x）•h（x）的解析式，注意定義域即可；（2）換元，令
x
+1=t，代入已知函數(shù)可得y=
1
t+
4
t
-2
，構(gòu)造函數(shù)F（t）=t+
4
t
，t∈[1，a+1]，求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，分類討論可得函數(shù)的值域．
解答：解：（1）∵g（x）=
x
+1，h（x）=
1
x+3
，x∈（-3，a2]，
∴f（x）=g（x）•h（x）=
x
+1
x+3
，x∈[0，a2]，
（2）令
x
+1=t，則t∈[1，a+1]，x=（t-1）2，
代入已知函數(shù)可得y=
t-1+1
(t-1)2+3
=
t
t2-2t+4
=
1
t+
4
t
-2
，
令F（t）=t+
4
t
，t∈[1，a+1]，求導(dǎo)數(shù)可得F′（t）=1-
4
t2
，
令F′（t）=1-
4
t2
＜0可得t＜2，結(jié)合t的范圍可得
F（t）=t+
4
t
，在t∈[1，2]單調(diào)遞增，[2，+∞）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)a+1≤2，即a≤1時(shí)，t=a+1時(shí)，y取最大值
a+1
a2+3
，
同理當(dāng)a+1＞2，即a＞1時(shí)，若1＜a≤3，則y最大值為
1
2
，最小值為
1
3

若a＞3，y最大值為
1
2
，最小值為
a+1
a2+3
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)的值域以及分類討論的思想，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義域R的奇函數(shù)，給出下列6個(gè)函數(shù)：
（1）g（x）=3•x
1
3
；            
（2）g（x）=x+1；         
（3）g(x)=sin(
5π
2
+x)；
（4）g(x)=ln(
x2+1
+x)；   
（5）g（x）=
sinx(1+sinx)
1-sinx
；
（6）g(x)=
2
ex+1
-1．
其中可以使函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）是偶函數(shù)的函數(shù)序號(hào)是
（1）（4）（6）
（1）（4）（6）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•韶關(guān)一模）已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，n∈N*，其導(dǎo)函數(shù)記為f′n（x），且滿足．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)g（x）=f2n-1（x）•fn（1-x），求g（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）試求關(guān)于x的方程
f′n(1+x)
f′n+1(1+x)
=
2n-1
2n+1-1
在區(qū)間（0，1）上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知g（x）=|x-1|-|x-2|，則g（x）的值域?yàn)?!--BA-->
[-1，1]
[-1，1]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）是定義域R的奇函數(shù)，給出下列6個(gè)函數(shù)：
（1）g（x）=3•x
1
3
；            
（2）g（x）=x+1；         
（3）g(x)=sin(
5π
2
+x)；
（4）g(x)=ln(
x2+1
+x)；   
（5）g（x）=
sinx(1+sinx)
1-sinx
；
（6）g(x)=
2
ex+1
-1．
其中可以使函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）是偶函數(shù)的函數(shù)序號(hào)是______．

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