Question

12．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）解方程f（x）=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義在R上奇函數(shù)滿足f（0）=0可得b值，進(jìn)而再由f（1）=-f（-1）可得a值，利用奇函數(shù)的定義檢驗(yàn)后可得答案；
（2）由（1）知f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{4}$，解指數(shù)方程可得答案．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，所以f（0）=0，…（2分）
即$\frac{-1+b}{2+a}$=0，解得b=1．…（4分）
從而有f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+a}$，
又由f（1）=-f（-1）知：
$\frac{-2+1}{4+a}$=-$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+a}$，
解得a=2．…（8分）
∴a=2，b=1（經(jīng)檢驗(yàn)適合題意）．…（9分）
（2）由（1）知f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{4}$，
則${2^x}=\frac{1}{3}$，
解得$x={log_2}\frac{1}{3}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．