Question

19．博彩公司對2015年NBA總決賽做了大膽的預(yù)測和分析，預(yù)測西部冠軍是老辣的馬刺隊，東部冠軍是擁有詹姆斯的年輕的騎士隊，總決賽采取7場4勝制，每場必須分出勝負(fù)，場與場之間的結(jié)果互不影響，只要有一隊獲勝4場就結(jié)束比賽．前4場，馬刺隊勝利的概率為$\frac{1}{2}$，第5，6場馬刺隊因為平均年齡大，體能下降厲害，所以勝利的概率將為$\frac{2}{5}$，第7場，馬刺隊因為有多次打第七場的經(jīng)驗，所以勝利的概率為$\frac{3}{5}$．
（1）分別求出馬刺隊以4：0，4：1，4：2，4：3勝利的概率及總決賽馬刺隊獲得冠軍的概率；
（2）隨機(jī)變量X為分出總冠軍時比賽的場數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)馬刺隊以4：0，4：1，4：2，4：3勝利的概率分別為P₀，P₁，P₂，P₃，然后直接利用獨(dú)立重復(fù)試驗的概率求解；最后由互斥事件的概率和求得馬刺隊獲得冠軍的概率；
（2）由題意可知，X為4，5，6，7．再由獨(dú)立重復(fù)試驗及互斥事件的概率求得概率，列出頻率分布表，代入期望公式求得期望．

解答 解：（1）設(shè)馬刺隊以4：0，4：1，4：2，4：3勝利的概率分別為P₀，P₁，P₂，P₃，
則${P}_{0}=（\frac{1}{2}）^{4}=\frac{1}{16}$；${P}_{1}={C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•\frac{2}{5}$=$\frac{1}{10}$；
${P}_{2}={C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•\frac{3}{5}•\frac{2}{5}+{C}_{4}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{3}{25}$；
${P}_{3}=[{C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•（\frac{3}{5}）^{2}+{C}_{4}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•{C}_{2}^{1}•\frac{2}{5}•\frac{3}{5}+{C}_{4}^{1}•\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{3}•（\frac{2}{5}）^{2}]•\frac{3}{5}$=$\frac{39}{500}$．
∴馬刺隊獲得冠軍的概率是$\frac{1}{10}+\frac{3}{25}+\frac{39}{500}=\frac{149}{500}$；
（2）由題意可知，X為4，5，6，7．
則P（X=4）=$2×（\frac{1}{2}）^{4}=\frac{1}{8}$，
P（X=5）═$\frac{1}{10}+{C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•\frac{3}{5}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=6）=$\frac{3}{25}+{C}_{4}^{3}•（\frac{1}{2}）^{3}•\frac{1}{2}•\frac{2}{5}•\frac{3}{5}+{C}_{4}^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{1}{2}）^{2}•（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{51}{200}$，
P（X=7）=$\frac{37}{100}$．
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	4	5	6	7
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{51}{200}$	$\frac{37}{100}$

∴EX=$4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{4}+6×\frac{51}{200}+7×\frac{37}{100}$=$\frac{589}{100}$．

點評 本題考查了相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗及其概率，考查了離散型隨機(jī)變量及其分布，考查了離散型隨機(jī)變量期望的求法，是中檔題．