Question

11．如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°
（1）求直線AD與平面BCD所成角的大�。�
（2）求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面角的定義即可求直線AD與平面BCD所成角的大小．
（2）先求出二面角的平面角，然后結(jié)合三角函數(shù)的邊角關(guān)系即可求二面角A-BD-C的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，在平面ABC內(nèi)，過(guò)A作AH⊥BC，垂足為H，
連接DH，則AH⊥平面DBC，
AD在平面DBC內(nèi)的射影為DH，
∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角．
由題設(shè)知$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABH=∠DBH=60°}\\{HB=HB}\end{array}\right.$，
∴△AHB≌△DHB，
∴∠AHB=∠DHB=90°，即DH⊥BH，
∴∠ADH=45°，
即直線AD與平面BCD所成角的大小為45°．
（2）過(guò)H作HR⊥BD，垂足為R，
連接AR，
則由AH⊥平面BCD，
∴AH⊥BD，
AH∩HR=H，
∴BD⊥平面AHR，
∴BD⊥AR，
故∠ARH為二面角A-BD-C的平面角的補(bǔ)角．
設(shè)BC=a，則有題設(shè)知，DH=AH=BDsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，HB=$\frac{a}{2}$，
在△HDB中，HR=HBsin60°═$\frac{a}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∴tan∠ARH=$\frac{AH}{HR}=2$，cos∠ARH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故二面角A-BD-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和平面所成的角以及二面角的求解，根據(jù)相應(yīng)的定義先求出對(duì)應(yīng)的夾角是解決本題的關(guān)鍵．考查了空間想象能力和推理論證能力．本題也可以使用向量法進(jìn)行求解．