Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的方程為y=2x+b，圓C的方程為（x+2）²+（y-1）²=16．
（1）若直線l與圓C相切，求b的值；
（2）若直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，以A，B與圓心C為頂點(diǎn)的三角形的面積最大時(shí)，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l與圓C相切知$\frac{|2×（-2）-1+b|}{\sqrt{4+1}}$=4，從而解得；
（2）由（1）知圓心C到AB的距離等于$\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}$，由勾股定理可求得|AB|=2$\sqrt{16-（\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}）^{2}}$；從而表示出S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{16-（\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}）^{2}}$×$\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{-[（b-5）^{2}-40]^{2}+1600}$，從而求最值及最值點(diǎn)．

解答 解：（1）因?yàn)橹本�l與圓C相切，
所以$\frac{|2×（-2）-1+b|}{\sqrt{4+1}}$=4，
解得：b=5±4$\sqrt{5}$．
所以，b的值為5±4$\sqrt{5}$．
（2）由（1）知圓心C到AB的距離等于$\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}$，
由勾股定理可求得：|AB|=2$\sqrt{16-（\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}）^{2}}$；
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{16-（\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}）^{2}}$×$\frac{|b-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$$\sqrt{-[（b-5）^{2}-40]^{2}+1600}$，
所以，當(dāng)（b-5）²-40=0時(shí)，S_△ABC取得最大值8，此時(shí)，b=5±2$\sqrt{10}$．
結(jié)合（1）及5±2$\sqrt{10}$∈（5-4$\sqrt{5}$，5+4$\sqrt{5}$），
所以，b=5±2$\sqrt{10}$符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于中檔題．