Question

3．數(shù)列{a_n}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a₃，a₅是方程x²-5x+6=0的兩實數(shù)根．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由方程x²-5x+6=0解得x=2，3．根據(jù)數(shù)列{a_n}是公差d為正數(shù)的等差數(shù)列，a₃，a₅是方程x²-5x+6=0的兩實數(shù)根．可得a₃＜a₅，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=2$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，再利用“裂項求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）解：由方程x²-5x+6=0解得x=2，3．
∵數(shù)列{a_n}是公差d為正數(shù)的等差數(shù)列，a₃，a₅是方程x²-5x+6=0的兩實數(shù)根．
∴a₃＜a₅，∴a₃=2，a₅=3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2}\\{{a}_{1}+4d=3}\end{array}\right.$，解得d=$\frac{1}{2}$，a₁=1．
∴a_n=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$．
（2）證明：b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=2$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=$2[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=2$（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$＜1，
∴S_n＜1．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、不等式的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．