Question

19．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-1）=-1，且當x＞0時，有xf′（x）＞f（x），則不等式f（x）＞x的解集是（　�。�

• A． （-1，0）
• B． （1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根據(jù)題意得出g（x）為偶函數(shù)，且x＞0時，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)；
討論x＞0、x＜0和x=0時，不等式f（x）＞x的解集情況，求出解集即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∴g（x）為偶函數(shù)，
又當x＞0時，xf′（x）＞f（x），
∴g′（x）=$\frac{f′（x）•x-f（x）}{{x}^{2}}$＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）上是減函數(shù)；
又f（-1）=-1，∴f（1）=1，g（1）=1；
當x＞0時，∵不等式f（x）＞x，
∴$\frac{f（x）}{x}$＞1，即g（x）＞g（1），
∴有x＞1；
當x＜0時，∵不等式f（x）＞x，
∴$\frac{f（x）}{x}$＜1，即g（x）＜g（-1），
∴有-1＜x＜0；
當x=0時，f（0）=0，不等式f（x）＞x不成立；
綜上，不等式f（x）＞x的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的應用問題，也考查了不等式的解法與應用問題，考查了構造函數(shù)的應用問題以及分類討論的應用問題，是綜合性題目．