Question

9．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為A的正三角形，點(diǎn)M在邊BC上，△AMC₁是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
（1）求證：直線A₁B∥平面AMC₁；
（2）求三棱錐C₁-AB₁M的高．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形，可得AM⊥C₁M且AM=C₁M，根據(jù)三垂線定理可知AM⊥CM，而底面ABC為邊長(zhǎng)為a的正三角形，證得點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)N，連接MN，則N為A₁C的中點(diǎn)，可得MN∥A₁B，即可證明直線A₁B∥平面AMC₁；
（2）利用${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}M}$=${V}_{A-{B}_{1}M{C}_{1}}$，求三棱錐C₁-AB₁M的高．

解答 （1）證明：∵△AMC₁為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC
∴C₁M在底面內(nèi)射影為CM，AM⊥CM．
∵底面ABC為邊長(zhǎng)為a的正三角形，
∴點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)
連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)N，連接MN，則N為A₁C的中點(diǎn)
∴MN∥A₁B，
∵M(jìn)N?平面AMC₁，A₁B?平面AMC₁，∴A₁B∥平面AMC₁；
（2）解：設(shè)三棱錐C₁-AB₁M的高為h，
∵AM⊥平面B₁BCC₁，∴${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}M}$=${V}_{A-{B}_{1}M{C}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}•\frac{3}{8}{a}^{2}h=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了點(diǎn)線的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，同時(shí)考查了空間想象能力和計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．