Question

【題目】設(shè)集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M的子集S滿(mǎn)足：對(duì)S中任意3個(gè)元素a，b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】20

【解析】

集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值為2018.

令S={s|1≤s≤2018，s∈Z}，顯然集合S符合要求，且|S|=2018.

另一方面，設(shè)S是滿(mǎn)足題設(shè)條件的集合，顯然（否則0+0+0=0）.設(shè)S中的所有正整數(shù)構(gòu)成集合A，S中的所有負(fù)整數(shù)構(gòu)成集合B.

若，則；若，則.

下面考慮A、B非空的情形.

對(duì)于集合X， Y，記，.

由題設(shè)可知， （否則，設(shè)x0∈(A+B)∩(－S)，則存在a∈A，b∈B，－c∈－S，使得a+b=x0，－c=x0.于是，存在a∈S，b∈S，使得a+b+c=0）.且A+B∈{x|x∈Z，且|x|<2017}(事實(shí)上，A中元素≤2018，B中元素≤－1，于是A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.）.

設(shè)集合A中元素為a1，a2，…，ak，集合B中元素為b1，b2，…，bl，且a1<a2<…<ak，b1<b2<…<bl.

∵a1+b1<a2+b1<a3+b1<…<ak+bl <ak+b2<…< ak+bl.

∴A+B中至少有k+l－1個(gè)元素，即|A+B|≥k+l－1=|S|－1.

結(jié)合，，且，可得，4037=|M|≥|A+B|+|－S|=|A+B|+|S|≥|S|－1+|S|.

∴|S|≤2019.

若|S|=2019，則|A+B|+|－S|=4037=|M|.

∴(A+B)∪(－S)=M.

又由，，知2018∈S，－2018∈S.

∴對(duì)于k=1，2，3，…，1009，k與2018－k中至少有一個(gè)不屬于S，－k與－2018+k中也至少有一個(gè)不屬于S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009.

∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018，矛盾.

因此，.

綜上可得，.

綜上所述，集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值為2018.