Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，且|F1F2|=2，點(diǎn)（1， ）在橢圓C上。

（1）求橢圓C的方程；

（2）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△AF2B的面積為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程。

Answer 1

【答案】(1) (2) （x-1）2+y2=2

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，根據(jù)定義求得的值，再根據(jù)的關(guān)系，求得的值，即可得到橢圓的方程；

(2)當(dāng)直線軸時(shí)，求得，當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到和，利用弦長公式求得和點(diǎn)到直線的距離公式求解三角形的高（圓的半徑），利用三角形的年級(jí)得到，進(jìn)而得到原的方程.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓的方程為=1（a>b>0），由題意可得：

橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1（-1；0），F2（1，0）.

所以2a=

所以a=2，又c=1，b2=4-1=3，

故橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線l⊥x軸，計(jì)算得到：A（-l，-），B（-1， ），

，不符合題意.

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），

由消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0,

顯然△>0成立，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2），

則x1+x2=，x1·x2=，

又|AB|=,

即|AB|=，

又圓F2的半徑r=，

所以，

化簡，得17k4+k2-18=0，

即（k2-1）（17k2+18）=0，解得k=±1，

所以，r=，故圓F2的方程為：（x-1）2+y2=2.