【題目】如圖:四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,且AC=BD,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1, ,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).
(1)證明:當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí),總有EF⊥AF;
(2)當(dāng)CE等于何值時(shí),PA與平面PDE所成角的大小為45°.
【答案】
(1)證明:分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
則可得P(0,0,1),B(0,1,0),F(xiàn)(0, , ),D( ,0,0),
設(shè)BE=x,則E(x,1,0),∴ =(x,1,﹣1)
得 =x0+1× +(﹣1)× =0
∴ ⊥ ,
∴當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí),總有EF⊥AF
(2)解: =( ,0,﹣1),設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為 =(p,q,1),
則 ,得 =( ,1﹣ ,1),
∵PA與平面PDE所成角的大小為45°, =(0,0,1),
∴sin45°= = ,得 = ,
解得x= 或x ,
∵BE=x ,
∴BE= ,即當(dāng)CE等于 時(shí),PA與平面PDE所成角的大小為45°.
【解析】(1)分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí),總有EF⊥AF.(2)求出平面PDE的一個(gè)法向量,由此利用向量法能求出CE= 時(shí),PA與平面PDE所成角的大小為45°.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)),還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B,C在該拋物線上,其中A,C關(guān)于x軸對稱(A在第一象限),且直線BC經(jīng)過點(diǎn)F.
(1)若△ABC的重心為G( ),求直線AB的方程;
(2)設(shè)S△ABO=S1 , S△CFO=S2 , 其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求S12+S22的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側(cè)棱PA的中點(diǎn).
(1)求證:PC∥平面BDE
(2)求三棱錐P﹣CED的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(Ⅰ)解不等式|6﹣|2x+1||>1; (Ⅱ)若關(guān)于x的不等式|x+1|+|x﹣1|+3+x<m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若 (acosB+bcosA)=2csinC,a+b=4,且△ABC的面積的最大值為 ,則此時(shí)△ABC的形狀為( )
A.銳角三角形
B.直線三角形
C.等腰三角形
D.正三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于200m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)到直線 的距離為 ,離心率 ,A,B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足 ,(其中λ為常數(shù)).
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)λ=1且直線AB與OP斜率均存在時(shí),求|kAB|+|kOP|的最小值;
(3)若G是線段AB的中點(diǎn),且kOAkOB=kOGkAB , 問是否存在常數(shù)λ和平面內(nèi)兩定點(diǎn)M,N,使得動(dòng)點(diǎn)P滿足PM+PN=18,若存在,求出λ的值和定點(diǎn)M,N;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在2009年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如圖所示.
(1)請先求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)數(shù)據(jù),再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試?
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試,求:第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率?
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [160,165) | 5 | 0.050 |
第2組 | [165,170) | ① | 0.350 |
第3組 | [170,175) | 30 | ② |
第4組 | [175,180) | 20 | 0.200 |
第5組 | [180,185) | 10 | 0.100 |
合計(jì) | 100 | 1.00 |
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