Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，點P（0，$\sqrt{3}$），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{4}{{1+{{cos}^2}θ}}$．直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的兩個交點分別為A，B，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；直線l的參數(shù)方程消去t，能求出直線l的普通方程．
（Ⅱ）點P（0，$\sqrt{3}$）在直線l：$\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$上，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得5t²+12t-4=0，設(shè)兩根為t₁，t₂，則${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{12}{5}$，${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{4}{5}$，由此能求出$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{4}{{1+{{cos}^2}θ}}$，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)），
∴消去t得直線l的普通方程為$\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$．…（5分）
（Ⅱ）點P（0，$\sqrt{3}$）在直線l：$\sqrt{3}x+y=\sqrt{3}$上，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，
得2（-$\frac{1}{2}t$）²+（$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t$）²=4，∴5t²+12t-4=0，
設(shè)兩根為t₁，t₂，則${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{12}{5}$，${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{4}{5}$，故t₁與t₂異號，
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{14}}{5}$，
|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=-t₁t₂=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA|•|PB|}$=$\sqrt{14}$．…（10分）

點評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的普通方程的求法，考查兩線段倒數(shù)和的取值范圍的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．