Question

20．函數(shù)f（x），g（x）的定義域都是D，直線x=x₀（x₀∈D），與y=f（x），y=g（x）的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|的值是不等于0的常數(shù)，則稱曲線 y=f（x），y=g（x）為“平行曲線”，設(shè)f（x）=e^x-alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）為區(qū)間（0，+∞）的“平行曲線”，g（1）=e，g（x）在區(qū)間（2，3）上的零點(diǎn)唯一，則a的取值范圍是[3e³，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得|e^x-alnx+c-g（x）|對(duì)x∈（0，+∞）恒為常數(shù)，且不為0．令x=1求得常數(shù)．再由題意可得f（x）=e^x-alnx+c在（2，3）上無(wú)極值點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程無(wú)實(shí)根，即可得到a的范圍．

解答 解：由題意可得|e^x-alnx+c-g（x）|對(duì)x∈（0，+∞）恒為常數(shù)，且不為0．
令x=1，可得|e-0+c-g（1）|=|e+c-e|=|c|＞0．
由g（x）在區(qū)間（2，3）上的零點(diǎn)唯一，可得：
f（x）=e^x-alnx+c在（2，3）上無(wú)極值點(diǎn)，
即有f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$=$\frac{x{e}^{x}-a}{x}$，
則xe^x-a=0無(wú)實(shí)數(shù)解，
由y=xe^x，可得y′=（1+x）e^x＞0，在（2，3）成立，即有函數(shù)y遞增，
可得y∈（2e²，3e³），
則a≥3e³，
故答案為：[3e³，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解法，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，同時(shí)考查構(gòu)造法的運(yùn)用，屬于中檔題．