【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn),是過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線,是直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn),過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn).判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn),,由條件的線段比例可得,,代入圓的方程中即可得解;
(2)設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立得得,設(shè),,由 ,結(jié)合韋達(dá)定理代入求解即可.
(1)設(shè)點(diǎn),,因?yàn)?/span>,點(diǎn)在直線上,
所以,.①
因?yàn)辄c(diǎn)在圓:上運(yùn)動(dòng),所以.②
將①式代入②式,得曲線的方程為.
(2)由題意可知的斜率存在,設(shè)直線的方程為,
令,得的坐標(biāo)為.
由,得.
設(shè),,則有,.③
記直線,,的斜率分別為,,,
從而,,.
因?yàn)橹本的方程為,所以,,
所以
.④
把③代入④,得.
又,所以,
故直線,,的斜率成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng),且,若動(dòng)點(diǎn)滿足.
(1)求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡對(duì)應(yīng)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)一條縱截距為2的直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),若以PQ直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn),求出直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】團(tuán)體購(gòu)買公園門票,票價(jià)如下表:
購(gòu)票人數(shù) | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
門票價(jià)格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
現(xiàn)某單位要組織其市場(chǎng)部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園,若按部門作為團(tuán)體,選擇兩個(gè)不同的時(shí)間分別購(gòu)票游覽公園,則共需支付門票費(fèi)為1290元;若兩個(gè)部門合在一起作為一個(gè)團(tuán)體,同一時(shí)間購(gòu)票游覽公園,則需支付門票費(fèi)為990元,那么這兩個(gè)部門的人數(shù)之差為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,某校開(kāi)展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng). 活動(dòng)后,為了解閱讀情況,學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法確認(rèn),在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值,求圖中a的所有可能取值;
(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過(guò)15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè),現(xiàn)從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,求至少有1人來(lái)自甲組的概率;
(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個(gè)閱讀量為10的學(xué)生,并記新得到的甲組閱讀量的方差為,試比較,的大小.(結(jié)論不要求證明)
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年9月,臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn),且橢圓與拋物線具有一個(gè)相同的焦點(diǎn).
(1)求橢圓及拋物線的方程;
(2)設(shè)過(guò)且互相垂直的兩動(dòng)直線,與橢圓交于兩點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn),求四邊形面積的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).
(1)求證:PA⊥BD;
(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;
(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求在處的切線方程;
(2)若有且只有兩個(gè)整數(shù)解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=1,點(diǎn)M是棱PC上的一點(diǎn),且AM⊥PB.
(1)求三棱錐C﹣PBD的體積;
(2)證明:AM⊥平面PBD.
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