【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求在處的切線方程;
(2)若有且只有兩個(gè)整數(shù)解,求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由恒成立可知即,即可得到在處的切線方程;
(2)可化簡(jiǎn)為.對(duì)a分類討論,當(dāng)時(shí),顯然不適合,當(dāng)時(shí),原不等式可化為,數(shù)形結(jié)合分析可得結(jié)果.
(1)∵,∴.
∵恒成立,∴,∴.
當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴恒成立,∴符合題意.
∴,,故,,
∴在處的切線方程為,即.
(2)∵,化簡(jiǎn)即.
(i)當(dāng)時(shí),時(shí),,∴恒成立,
此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解,不合題意;
(ii)當(dāng)時(shí),原不等式可化為,令.
∴,令,∴,∴在上單調(diào)遞增.
又,,∴存在唯一使得.
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且.
又,,,,
∴當(dāng)原不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解時(shí),,
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線與軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn),兩點(diǎn).直線,分別交橢圓于點(diǎn)、(,與不重合)
(1)求證:;
(2)若,求直線的斜率的值;
(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交橢圓于,,若,且,則是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn),是過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線,是直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn),過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn),交直線于點(diǎn).判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)期間,我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù),統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn),它們通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如圖所示,其中時(shí)間段9:20~9:40記作區(qū)間,9:40~10:00記作,10:00~10:20記作,10:20~10:40記作.比方:10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.
(1)估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再?gòu)倪@10輛車中隨機(jī)抽取4輛,記為9:20~10:00之間通過(guò)的車輛數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車輛在春節(jié)期間每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布,其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替,可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn),估計(jì)在9:46~10:40之間通過(guò)的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).
參考數(shù)據(jù):若,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)說(shuō)偉大的阿基米德逝世后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑,在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案,圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.
(1)試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比;
(2)假設(shè)球半徑.試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)F做x軸的垂線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)若M,N為橢圓上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn),且直線的傾斜角互補(bǔ),問(wèn)直線MN的斜率是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某輪船公司年初以200萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘輪船,以每年40萬(wàn)元的價(jià)格出租給海運(yùn)公司.輪船公司負(fù)責(zé)輪船的維護(hù),第一年維護(hù)費(fèi)為4萬(wàn)元,隨著輪船的使用與磨損,以后每年的維護(hù)費(fèi)比上一年多2萬(wàn)元,同時(shí)該輪船第年末可以以萬(wàn)元的價(jià)格出售.
(1)寫出輪船公司到第年末所得總利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于的函數(shù)解析式,并求的最大值;
(2)為使輪船公司年平均利潤(rùn)最大,輪船公司應(yīng)在第幾年末出售輪船?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面立角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)的圓的圓心在軸上,且與過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)作圓的切線、,切點(diǎn)分別為、,求經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的圓所過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)相互垂直的直線,分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn),,且與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、.
(1)當(dāng)的傾斜角為時(shí),求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)問(wèn)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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