Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）記表示中的最小值，若函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用分離參數(shù)，并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，并求最值，可得結(jié)果.

（2）利用對(duì)的分類討論，可得，然后判斷函數(shù)單調(diào)性以及根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得結(jié)果.

（1）由，得，

令，

當(dāng)時(shí)，

，，；

當(dāng)時(shí)，

，，，

∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，

，，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是

（2） ①由（1） 得當(dāng)時(shí)，，

，

，

函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意

②當(dāng)時(shí)，

i．若，，

，

故函數(shù)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)

ii．若，，，

，

不是函數(shù)的零點(diǎn)；

iii．若時(shí)，，

故只考慮函數(shù)在的零點(diǎn)，，

若時(shí)，

，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，

，

∴函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)

若時(shí)，

， ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，∴函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，

若時(shí)，

，，

∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，

要使在上恰有一個(gè)零點(diǎn)， 只需，

．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．