Question

18．已知實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜1，-1＜b＜1，則函數(shù)y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b有三個(gè)零點(diǎn)的概率為（　�。�

• A． $\frac{5}{16}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{5}{8}$
• D． $\frac{11}{16}$

Answer 1

分析 由函數(shù)有極值可得b＜a²，由定積分可求滿足題意的區(qū)域面積，由幾何概型的概率公式可得．

解答 解：對(duì)y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b求導(dǎo)數(shù)可得y′=ax²+2ax，令ax²+2ax=0，可得x=0，或x=-2，0＜a＜1，
x=-2是極大值點(diǎn)，x=0是極小值點(diǎn)，函數(shù)y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b有三個(gè)零點(diǎn)，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{8}{3}a+4a+b=\frac{4}{3}a+b＞0}\\{b＜0}\end{array}\right.$，
畫出可行域如圖：滿足函數(shù)y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b有三個(gè)零點(diǎn)，如圖深色區(qū)域，實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜1，-1＜b＜1，為長方形區(qū)域，所以長方形的面積為：2，實(shí)數(shù)區(qū)域的面積為：$\frac{1}{2}×（1+\frac{1}{4}）×1$=$\frac{5}{8}$
∴所求概率為P=$\frac{\frac{5}{8}}{2}$=$\frac{5}{16}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型的求解，涉及導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬中檔題．