Question

6．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面ABC垂直，且AA₁=4，AC=BC=2，∠ACB=90°．
（1）證明：AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）求直線BB₁與平面AB₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得CC₁⊥平面ABC，從而AC⊥CC₁，由∠ACB=90°，得AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）過B作BG⊥B₁C，從而AC⊥BC，由線面垂直得CC₁⊥AC，從而AC⊥面B₁BCC₁，進而∠BB₁G是直線BB₁與平面AB₁C所成角，由此能求出直線BB₁與平面AB₁C所成角的余弦值．

解答 （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面ABC垂直，
∴CC₁⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AC⊥CC₁，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：過B作BG⊥B₁C，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵CC₁⊥面ABC，∴CC₁⊥AC，
∴AC⊥面B₁BCC₁，∴AC⊥BG，
∵BG⊥B₁C，∴BG⊥面AB₁C，
∴∠BB₁G是直線BB₁與平面AB₁C所成角，∴cos∠BB₁G=$\frac{B{B}_{1}}{{B}_{1}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直線BB₁與平面AB₁C所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，是中檔題，