Question

設(shè)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若對(duì)一切x∈R，有f（x+

1

x

）＞0，且f（

2x2+3

x2+1

）的最大值為1，求b，c所滿足的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：要使對(duì)一切x∈R，有f（x+

1

x

）＞0，可轉(zhuǎn)化成對(duì)一切滿足|x|≥2的實(shí)數(shù)x，有f（x）≥0，求出

2x2+3

x2+1

的值域，再研究函數(shù)f（x）在其值域范圍內(nèi)的單調(diào)性，求出最大值，建立等量關(guān)系，求出b，c滿足的條件．

解答： 解：因?yàn)閨x+

1

x

|≥2，依題意，對(duì)一切滿足|x|≥2的實(shí)數(shù)x，有f（x）＞0．
①當(dāng)f（x）=0有實(shí)根時(shí)，f（x）=0的實(shí)根在區(qū)間[-2，2]內(nèi)，設(shè)f（x）=x²+bx+c，所以

f(2)＞0 f(-2)＞0 -2＜- b 2 ＜2

，
即

4+2b+c＞0 4-2b+c＞0 -4＜b＜4

，又

2x2+3

x2+1

=2+

1

x2+1

∈（2，3]，
于是，f（

2x2+3

x2+1

）的最大值為f（3）=1，即9+3b+c=1，從而c=-3b-8．
故

4+2b-3b-8＞0 4-2b-3b-8＞0 -4＜b＜4

，解得b∈∅．
②當(dāng)f（x）=0無實(shí)根時(shí)，△=b²-4c＜0，由二次函數(shù)性質(zhì)知，
f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，
所以，當(dāng)f（2）＞f（3）時(shí)，f（

2x2+3

x2+1

）無最大值．
于是，f（

2x2+3

x2+1

）存在最大值的充要條件是f（2）≤f（3），
即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又f（

2x2+3

x2+1

）的最大值為f（3）=1，
即9+3b+c=1，從而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．
所以b、c滿足的條件為3b+c+8=0且-5≤b＜-4．
綜上：3b+c+8=0且-5≤b＜-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，以及函數(shù)恒成立問題和函數(shù)最值與幾何意義，屬于中檔題．