Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=2，．
（1）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（2）求二面角V-AB-C的大��；
（3）求點C到平面VAB的距離．

Answer 1

（1）證明：∵三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴以CA為x軸，以CB為y軸，以CV為z軸，建立空間直角坐標系，
∵D是AB的中點，且AC=BC=2，，
∴V（0，0，），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），C（0，0，0）
∴，，，
∴=-2+2+0=0，，
故AB⊥CD，AB⊥CV，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）解：由（1）知AB⊥平面VCD，
∴∠VDC是二面角V-AB-C的平面角，
∵AC=BC=2，，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴VC=CD=，VC⊥CD，
∴∠VDC=，
故二面角V-AB-C的大小為．
（3）解：∵V（0，0，），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），
∴，，=（0，0，），
設平面VAB的法向量為，
則，
∴，解得，
∴點C到平面VAB的距離d===1．
分析：（1）三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，以CA為x軸，以CB為y軸，以CV為z軸，建立空間直角坐標系，由此能夠證明AB⊥平面VCD，故平面VAB⊥平面VCD．
（2）由AB⊥平面VCD，知∠VDC是二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的大小．
（3）先求出平面VAB的法向量，利用向量法能夠求出點C到平面VAB的距離．
點評：本題考查平面垂直的證明，考查二面角大小的求法，考查點到平面的距離的求法．解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運用．