Question

8．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動點(diǎn)，且A₁F∥平面D₁AE，記A₁F與平面BCC₁B₁所成的角為θ，下列說法正確的是個數(shù)是（　�。�
①點(diǎn)F的軌跡是一條線段；
②A₁F與D₁E不可能平行；
③A₁F與BE是異面直線；
④$tanθ≤2\sqrt{2}$；
⑤當(dāng)F與C₁不重合時，平面A₁FC₁不可能與平面AED₁平行．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 在①中，設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)，分別取B₁B、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，推導(dǎo)出平面A₁MN∥平面D₁AE，從而得到F是線段MN上上的動點(diǎn)；在②中，由平面A₁MN∥平面D₁AE，得A₁F與D₁E不可能平行；在③中，由平面A₁MN∥平面D₁AE，BE和平面D₁AE相交，得到A₁F與BE是異面直線；在④中，推導(dǎo)出A₁F與平面BCC₁B₁成角的正切取值范圍為[2，2$\sqrt{2}$]；在⑤中，當(dāng)F與C₁不重合時，平面A₁FC₁與平面AED₁相交．

解答 解：在①中，設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)，
分別取B₁B、B₁C₁的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結(jié)合A₁F∥平面D₁AE，可得直線A₁F?平面A₁MN，
即點(diǎn)F是線段MN上上的動點(diǎn)．故①正確．
在②中，由①知，平面A₁MN∥平面D₁AE，
∴A₁F與D₁E不可能平行，故②錯誤．
在③中，∵平面A₁MN∥平面D₁AE，BE和平面D₁AE相交，
∴A₁F與BE是異面直線，故③正確．
在④中，設(shè)直線A₁F與平面BCC₁B₁所成角為θ
運(yùn)動點(diǎn)F并加以觀察，可知當(dāng)F與M（或N）重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，
此時所成角θ達(dá)到最小值，滿足tanθ=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{B}_{1}M}$=2，
當(dāng)F與MN中點(diǎn)重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角達(dá)到最大值，
滿足tanθ=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{1}M}$=2，
∴A₁F與平面BCC₁B₁成角的正切取值范圍為[2，2$\sqrt{2}$]，即tan$θ≤2\sqrt{2}$成立．故④正確．
在⑤中，當(dāng)F與C₁不重合時，平面A₁FC₁與平面AED₁相交，故⑤正確．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．