Question

3．設函數(shù)f（x）在R上連續(xù)可導，對任意x∈R，有f（-x）+f（x）=cos2x，當x∈（0，+∞）時，f（x）+sin2x＞0，若f（m）-f（$\frac{π}{2}$-m）-cos2m＞0，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{π}{4}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{π}{4}$）
• C． （0，$\frac{π}{4}$）
• D． （-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 設g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$cos2x，判斷g（x）為奇函數(shù)；
再由x∈（0，+∞）時g′（x）=f′（x）+sin2x＞0判斷g（x）的單調(diào)性，
把f（m）-f（$\frac{π}{2}$-m）-cos2m＞0化為g（m）-g（$\frac{π}{2}$-m）＞0，
從而求出m的取值范圍．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$cos2x，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$cos2x+f（x）-$\frac{1}{2}$cos2x=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)；
∵x∈（0，+∞）時，g′（x）=f′（x）+sin2x＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
由f（0）=$\frac{1}{2}$，可得g（x）在R上是增函數(shù)；
又f（m）-f（$\frac{π}{2}$-m）-cos2m
=[f（m）-$\frac{1}{2}$cos2m]-[f（$\frac{π}{2}$-m）-$\frac{1}{2}$cos2（$\frac{π}{2}$-m）]-$\frac{1}{2}$cos2m-$\frac{1}{2}$cos2（$\frac{π}{2}$-m）
=g（m）-g（$\frac{π}{2}$-m）＞0，
得g（m）＞g（$\frac{π}{2}$-m），
∴m＞$\frac{π}{2}$-m，
解得：m＞$\frac{π}{4}$；
∴m的取值范圍是（$\frac{π}{4}$，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用以及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應用問題，是難題．