Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x2+b

是定義在R上的奇函數(shù)
（1）當(dāng)b=2時，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域?yàn)閇-

1

4

，

1

4

]，求b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求出a的值，利用判別式法即可求出函數(shù)的值域．
（2）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式恒成立即可求出函數(shù)的值域，利用值域關(guān)系即可求出b的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x+a

x2+b

是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=

a

b

=0，解得a=0，
若b=2，則f（x）=

x+a

x2+b

=

x

x2+2

，
設(shè)y=f（x）=

x

x2+2

，
則y（x²+2）=x，
即yx²-x+2y=0，
當(dāng)y=0時，x=0，此時方程有解，
當(dāng)y≠0時，∵方程恒有解，
∴△=1-8y²≥0，
即y2≤

1

8

，
即-

2

4

≤y≤

2

4

且y≠0，
綜上-

2

4

≤y≤

2

4

，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

2

4

，

2

4

]．
（2）∵函數(shù)f（x）=

x+a

x2+b

是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即a=0，
即y=f（x）=

x

x2+b

，
∴yx²-x+by=0，
當(dāng)y=0時，x=0，此時方程有解，
當(dāng)y≠0時，∵方程恒有解，
∴△=1-4by²≥0，
即4by²≤1，
∵f（x）的值域?yàn)閇-

1

4

，

1

4

]，
∴b＞0，
即y2≤

1

4b

，
∴

1

4b

=

1

4

，
即b=1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)值域的求法，利用判別式法是解決本題的關(guān)鍵．