Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²-x（x∈R，a≠0），g（x）=lnx．若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是0＜a＜1．

Answer 1

分析 先由f（x）=g（x）分離a，即求出a的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)k（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，再求導(dǎo)判斷單調(diào)性以及最值和特殊函數(shù)值的符號，求出滿足條件的a的范圍．

解答 解：由h（x）=f（x）-g（x）=0，得ax²-x=lnx（a≠0，x＞0），即a=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$．
令k（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，則k′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1-x-2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，且k（e^-1）=$\frac{-1+{e}^{-1}}{{e}^{-2}}$＜0，
當(dāng)x＞1時(shí)，1-x-2lnx＜0，即k′（x）＜0，
∴k（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$．＞0，
∴k（x）在x=1處取得最大值k（1）=1，
故要是y=a和y=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，只需0＜a＜1．
故答案為：0＜a＜1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．