Question

15．已知點P是拋物線y=ax²上的一個動點，且點P到點A（2，0）的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為$\sqrt{5}$，則a的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． 4
• C． $±\frac{1}{4}$
• D． ±4

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，將拋物線上的點P到該拋物線準線的距離轉(zhuǎn)化為點P到其焦點F的距離，當F、P、A共線時即可滿足題意，從而可求得距離之和的最小值．

解答 解：拋物線x²=$\frac{1}{a}$y的焦點F的坐標為F（0，$\frac{1}{4a}$），拋物線x²=$\frac{1}{a}$y的準線方程為y=-$\frac{1}{4a}$，
設(shè)點P到該拋物線準線y=-$\frac{1}{4a}$的距離為d，
由拋物線的定義可知，d=|PF|，
∴|PA|+d=|PA|+|PF|≥|FA|（當且僅當F、P、A三點共線時（P在F，A中間）時取等號），
∴點P到點A（2，0）的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為|AM|，
∵F（0，$\frac{1}{4a}$），A（2，0），△FOA為直角三角形，
∴|AM|=$\sqrt{4+\frac{1}{16{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴a=±$\frac{1}{4}$
故選：C．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，著重考查拋物線的定義的應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．