Question

14．在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{6}}{2}$，則△BCD的面積為$\frac{\sqrt{11}}{2}$；三棱錐A-BCD的內(nèi)切球半徑為$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{11}}$．

Answer 1

分析 設(shè)長(zhǎng)方體的三度為a，b，c由題意得：ab=$\sqrt{6}$，ac=$\sqrt{3}$，bc=$\sqrt{2}$，求出a，b，c，即可求△BCD的面積，利用等體積求出三棱錐A-BCD的內(nèi)切球半徑．

解答 解：設(shè)長(zhǎng)方體的三度為a，b，c由題意得：ab=$\sqrt{6}$，ac=$\sqrt{3}$，bc=$\sqrt{2}$，
解得：a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
△ABC中，BC上的高為$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，∴△DBC中，BC上的高為$\sqrt{3+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$，
∴△BCD的面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$．
設(shè)三棱錐A-BCD的內(nèi)切球半徑為r，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）r
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{11}}$
故答案為：$\frac{\sqrt{11}}{2}$；$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{11}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查三棱錐A-BCD的內(nèi)切球半徑，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．