Question

6．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}{cos^2}ωx+sin2ωx-\sqrt{3}$（ω＞0），相鄰兩對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，再縱坐標不變橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$后得到函數(shù)g（x）的圖象，當$x∈[{-\frac{π}{2}，\;\;\frac{π}{12}}]$時，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換的應用將函數(shù)進行化簡，結(jié)合周期公式解得ω的值，即可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換求得g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 （本小題14分）
解：（1）$f（x）=\sqrt{3}（1+cos2ωx）+sin2ωx-\sqrt{3}$
$\begin{array}{l}=\sqrt{3}cos2ωx+sin2ωx\\=2sin（2ωx+\frac{π}{3}）\end{array}$---------------------------（4分）
因為相鄰兩對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，所以$\frac{2π}{2ω}•\frac{1}{2}=\frac{π}{2}，\;即ω=1$，
所以$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．----------------------------（6分）
（2）由題意可得：$y=2sin[{2（x-\frac{π}{4}）+\frac{π}{3}}]=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
則$g（x）=2sin（2×2x-\frac{π}{6}）=2sin（4x-\frac{π}{6}）$…（10分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤4x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解之得：$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}≤x≤\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{6}$…（13分）
因為$x∈[{-\frac{π}{2}，\;\;\frac{π}{12}}]$，
所以y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{-\frac{π}{2}，\;-\frac{π}{3}}]$和$[{-\frac{π}{12}，\;\frac{π}{12}}]$．----（15分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的應用，周期公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，屬于中檔題．