【題目】如圖,某市有一條東西走向的公路,現(xiàn)欲經(jīng)過公路上的處鋪設(shè)一條南北走向的公路.在施工過程中發(fā)現(xiàn)在處的正北1百米的處有一漢代古跡.為了保護古跡,該市決定以為圓心, 1百米為半徑設(shè)立一個圓形保護區(qū).為了連通公路,欲再新建一條公路,點 分別在公路上,且求與圓相切.
(1)當距處2百米時,求的長;
(2)當公路長最短時,求的長.
【答案】(1)當距處2百米時, 的長為百米;(2)當公路長最短時, 的長為百米.
【解析】試題分析:題目中涉及到直線與圓相切的條件,一般在平面直角坐標系中研究,所以先建立合適的坐標系;(1)已知點,則設(shè)直線的方程,可設(shè)截距(或點斜式),利用圓心到直線的距離等于半徑,求得的坐標,從而得到的長;(2)研究長的最小值,則需要建立目標函數(shù),選擇合適的變量,本小題依然可以設(shè)直線的兩個截距,則容易表示出的長和直線方程,由相切再得到兩截距間的關(guān)系,消元后則得到一個一元的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究它的最小值;
試題解析:
以為原點,直線、分別為軸建立平面直角坐標系.
設(shè)與圓相切于點,連結(jié),以百米為單位長度,則圓的方程為,
(1)由題意可設(shè)直線的方程為,即, ,
∵與圓相切,∴,解得,
故當距處百米時, 的長為百米.
(2)設(shè)直線的方程為,即, ,
∵與圓相切,∴,化簡得,則,
令,∴ ,
當時, ,即在上單調(diào)遞減;
當時, ,即在上單調(diào)遞增,
∴在時取得最小值,故當公路長最短時, 的長為百米.
答:(1)當距處百米時, 的長為百米;(2)當公路長最短時, 的
長為百米.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中點.
(1)求MN與AC所成角,并說明理由.
(2)求證:平面AMN∥平面EFDB.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】廣場舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂發(fā)展的產(chǎn)物,其兼具文化性和社會性,是精神文明建設(shè)成果的一個重要指標和象征.2015年某高校社會實踐小組對某小區(qū)跳廣場舞的人的年齡進行了凋查,隨機抽取了40名廣場舞者進行調(diào)查,將他們年齡分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計在40名廣場舞者中年齡分布在[40,70)的人數(shù);
(2)求40名廣場舞者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)的估計值;
(3)若從年齡在[20,40)中的廣場舞者中任取2名,求這兩名廣場舞者年齡在[30,40)中的人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實數(shù),使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì)M.
判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)M,說明理由;
若函數(shù)具有性質(zhì)M,求實數(shù)a的取值范圍;
若函數(shù)具有性質(zhì)M,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某家庭進行理財投資,有兩種方式,甲為投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品,乙為投資股票等風險型產(chǎn)品,設(shè)投資甲、乙兩種產(chǎn)品的年收益分別為、萬元,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,它們與投入資金萬元的關(guān)系分別為,,(其中,,都為常數(shù)),函數(shù),對應(yīng)的曲線,如圖所示.
(1)求函數(shù)、的解析式;
(2)若該家庭現(xiàn)有萬元資金,全部用于理財投資,問:如何分配資金能使一年的投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某程序框圖如圖所示,若輸出i的值為63,則判斷框內(nèi)可填入的條件是( )
A.S>27
B.S≤27
C.S≥26
D.S<26
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)且是定義域為R的奇函數(shù).
求k值;
若,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式恒成立的t的取值范圍;
若,且在上的最小值為,求m的值.
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