Question

14．設(shè)0＜a＜1，已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-xlnx，0＜x≤a\\ \frac{1}{e}cos2πx，a＜x≤1\end{array}$，若對任意b∈（0，$\frac{1}{e}}$），函數(shù)g（x）=f（x）-b至少有兩個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{e}}]$
• B． $（{0，\frac{3}{4}}]$
• C． $[{\frac{1}{e}，1}）$
• D． $[{\frac{1}{e}，\frac{3}{4}}]$

Answer 1

分析 若a＜$\frac{1}{e}$，則當(dāng)x=a時，函數(shù)取極大值f（a）=-alna＜$\frac{1}{e}}$，不滿足條件，結(jié)合函數(shù)的零點$\frac{3}{4}$∈（a，1]，可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-xlnx，0＜x≤a\\ \frac{1}{e}cos2πx，a＜x≤1\end{array}$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx-1，0＜x≤a}\\{-\frac{2π}{e}sin2πx，a＜x≤1}\end{array}\right.$，
若a＜$\frac{1}{e}$，則當(dāng)x=a時，函數(shù)取極大值f（a）=-alna＜$\frac{1}{e}}$，
當(dāng)b∈（-alna，$\frac{1}{e}}$）時，函數(shù)g（x）=f（x）-b有且只有一個零點，
故a≥$\frac{1}{e}}$，
令f（x）=0，x∈（0，1]，則x=$\frac{3}{4}$，
故$\frac{3}{4}$∈（a，1]，即a≤$\frac{3}{4}$，
綜上可得：a∈$[{\frac{1}{e}，\frac{3}{4}}]$，
故選：D

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點，分段函數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，難度中檔．