Question

14．已知f（x）=|2x-3|+ax-6（a是常數(shù)，a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）如果函數(shù)y=f（x）恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時轉(zhuǎn)化不等式f（x）≥0，去掉絕對值，然后求解不等式的解集即可；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）恰有兩個不同的零點，令f（x）=0，構(gòu)造函數(shù)y=|2x-3|，y=-ax+6，利用函數(shù)的圖象推出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=|2x-3|+x-6=$\left\{\begin{array}{l}{3x-9，x≥\frac{3}{2}}\\{-3-x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=|2x-3|+x-6≥0：化為$\left\{\begin{array}{l}{3x-9≥0}\\{x≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-x-3≥0}\\{x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得x≥3或x≤-3．
則解集為{x|x≥3或x≤-3}．
（Ⅱ）由f（x）=0得，|2x-3|=-ax+6．
令y=|2x-3|，y=-ax+6，作出它們的圖象，
可以知道，當(dāng)-2＜a＜2時，
這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
所以，當(dāng)-2＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）有兩個不同的零點．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的零點的個數(shù)問題的解法，考查數(shù)形結(jié)合思想和計算能力，屬于中檔題．