Question

【題目】已知圓心為的圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)。

（1）求圓的方程；

（2）已知點(diǎn)，且對(duì)于圓上任一點(diǎn)，線段上存在異于點(diǎn)的一點(diǎn)，使得（為常數(shù)），試判斷使的面積等于4的點(diǎn)有幾個(gè)，并說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）使的面積等于4的點(diǎn)有2個(gè)

【解析】

（1）利用條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓過(guò)點(diǎn)求t，確定圓方程.

（2）設(shè)，由確定阿波羅尼斯圓方程，與圓C為同一圓，可得，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，建立ON方程，,再利用面積求點(diǎn)P到直線的距離，

判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關(guān)系可得結(jié)論.

（1）依題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則半徑為，

圓的方程可寫(xiě)成，

因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，∴，∴，

則圓的方程為。

（2）由題知，直線的方程為，設(shè)滿足題意，

設(shè)，則，所以，

則，

因?yàn)樯鲜綄?duì)任意恒成立，所以，且，

解得或（舍去，與重合）。

所以點(diǎn)，則，直線方程為，

點(diǎn)到直線的距離，

若存在點(diǎn)使的面積等于4，則，

∴。

①當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，

∵，

∴當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，使的面積等于4的點(diǎn)有2個(gè)；

②當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，

∵，

∴當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，使的面積等于4的點(diǎn)有0個(gè)，

綜上可知，使的面積等于4的點(diǎn)有2個(gè)。