Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosωx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，若函數(shù)f（x）圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若f（A）=1，a=3，BC邊上的高線長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求b、c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積和二倍角公式以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），根據(jù)周期確定ω，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出，
（2）先求出A，再根據(jù)三角形面積公式和余弦定理即可求出b，c的值

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+2cos²ωx-1=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ω=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)f（x）圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴2ω=$\frac{2π}{π}$=2，解得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）_max=2，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）_min=-1，
∴函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域?yàn)閇-1，2]，
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
由0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵a=3，BC邊上的高線長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴bc=9，②，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-bc=9，②
由①②解得b=c=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，向量的數(shù)量積，三角形的面積公式和余弦定理，屬于中檔題．