Question

15．設向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，且θ∈（0，π），求θ；
（2）若|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值．

Answer 1

分析 （1），根據向量平行，得到sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，結合θ的范圍，求出即可；（2）根據向量的運算得到$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=0，求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴-$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，θ∈（0，π），
∴θ=$\frac{2π}{3}$；
（2）若|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$|，
則${（3cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}$+${（3sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}$=${（cosθ+\frac{3}{2}）}^{2}$+${（sinθ-\frac{3\sqrt{3}}{2}）}^{2}$，
整理得：$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=0，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}{+（sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{3}sinθ-cosθ}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了向量的平行的性質，考查向量的運算，是一道中檔題．