Question

已知f（x）=a^x-a^-x（a＞1）
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．然后運(yùn)用定義，注意驗(yàn)證定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
再計(jì)算f（-x）是否等于±f（x）；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性．再運(yùn)用定義，注意幾個(gè)步驟，即可得證．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
理由如下：f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
理由如下：設(shè)m＜n，
則f（m）-f（n）=（a^m-a^-m）-（aⁿ-a^-n）
=（a^m-aⁿ）+（a^-n-a^-m）
=（a^m-aⁿ）+

am-an

am+n

=（a^m-aⁿ）（1+

1

am+n

），
由于a＞1，m＜n，則a^m＜aⁿ，a^m+n＞0，
則有（a^m-aⁿ）（1+

1

am+n

）＜0，
即有f（m）＜f（n），
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及判斷，注意運(yùn)用定義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．