Question

2．如圖，已知底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PC=$\sqrt{2}$且N為線段AC的中點(diǎn)，M為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，O為線段AB的中點(diǎn)，
（1）求證：NM∥平面PAD；
（2）求證：直線PO⊥平面ABCD；
（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)K，使得AK⊥PD？若存在求出點(diǎn)K的具體位置并證明，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，由四邊形ABCD為菱形，得對(duì)角形AC與BD交于點(diǎn)N，MN∥PD，即可證明MN∥平面PAD．
（2）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，由勾股定理得PO⊥OC，從而PO⊥平面ABCD．
（3）以O(shè)C為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{BK}$=λ$\overrightarrow{BC}$，利用向量法能求出求出點(diǎn)K的具體位置．

解答 證明：（1）連結(jié)BD，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴對(duì)角形AC與BD交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，
∵N為線段AC的中點(diǎn)，M為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，
∴MN∥PD，
∵M(jìn)N?平面PAD，PD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，
∵PA=PB，PO⊥AB，△POC中，OC=$\sqrt{3}$，OP=1，PC=2，
∴OC²+OP²=PC²，
∴PO⊥OC，
又OC∩AB=O，
∴PO⊥平面ABCD．
解：（3）如圖，以O(shè)C為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A（0，-1，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，1），D（$\sqrt{3}$，-2，0），
取線段BC上的一點(diǎn)K，連接AK，設(shè)$\overrightarrow{BK}$=λ$\overrightarrow{BC}$，
則有：$\overrightarrow{BK}$=（$\sqrt{3}$λ，-λ，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AK}$=（$\sqrt{3}λ$，2-λ，0），$\overrightarrow{DP}$=（-$\sqrt{3}$，2，1），
∵AK⊥PD，則$\overrightarrow{AK}$•$\overrightarrow{DP}$=$\sqrt{3}λ$×（-$\sqrt{3}$）+（2-λ）×2+0×1=0，
解得：λ=$\frac{4}{5}$，
即在線段BC上是存在一點(diǎn)K，當(dāng)設(shè)$\overrightarrow{BK}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BC}$時(shí)，使得AK⊥PD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．