Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²+bx+c，a，b，c∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為3x-y+2=0，求b，c的值；
（2）若b=0，且f（x）在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（0）=2，f′（0）=3，解方程組可得b，c的值；
（2）求得b=0時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得e^x+2ax≥0，即有a≥-$\frac{{e}^{x}}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．令g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{2x}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得g（x）的最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x+ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x+2ax+b，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2\\ f'（0）=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1+c=2\\ 1+b=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=1\end{array}\right.$；
（2）b=0時(shí)，f（x）=e^x+ax²+c，導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x+2ax，
由f（x）在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即e^x+2ax≥0，即有a≥-$\frac{{e}^{x}}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．
令$g（x）=-\frac{e^x}{2x}，x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$，
則$g'（x）=-\frac{{2{e^x}•x-2{e^x}}}{{4{x^2}}}=-\frac{{{e^x}（{1-x}）}}{{2{x^2}}}⇒g（x）$在$[{\frac{1}{2}，1}）$上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴g（x）_max=g（1）=-$\frac{e}{2}$，
∴$a≥-\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．