Question

計(jì)算器上有一個(gè)特殊的按鍵，在計(jì)算器上顯示正整數(shù)n時(shí)按下這個(gè)按鍵，會(huì)等可能的將其替換為0～n-1中的任意一個(gè)數(shù)．如果初始時(shí)顯示2011，反復(fù)按這個(gè)按鍵使得最終顯示0，那么這個(gè)過程中，9、99、999都出現(xiàn)的概率是（　�。�

• A．

  1

  104

• B．

  1

  105

• C．

  1

  106

• D．

  1

  107

Answer 1

分析：若計(jì)算器上顯示n的時(shí)候按下按鍵，因此共有1～n-1共n-1種選擇，所以產(chǎn)生給定的數(shù)m的概率是

1

n

．如果計(jì)算器上的數(shù)在變化過程中除了2011，999，99，9和0以外，還產(chǎn)生了a₁，a₂，…，a_n，則概率為

1

2011

×

1

a1

×

1

a2

×…×

1

an

×

1

999

×

1

99

×

1

9

，由此可計(jì)算9、99、999都出現(xiàn)的概率．

解答：解：若計(jì)算器上顯示n的時(shí)候按下按鍵，因此共有0～n-1共n種選擇，所以產(chǎn)生給定的數(shù)m的概率是

1

n

．
如果計(jì)算器上的數(shù)在變化過程中除了2011，999，99，9和0以外，還產(chǎn)生了a₁，a₂，…，a_n，則概率為

1

2011

×

1

a1

×

1

a2

×…×

1

an

×

1

999

×

1

99

×

1

9

，
所以所求概率為p=∑

1

2011

×

1

a1

×

1

a2

×…×

1

an

×

1

999

×

1

99

×

1

9

=

1

2011

(1+

1

2010

)(1+

1

2009

)…(1+

1

1000

)×

1

999

×(1+

1

998

)…(1+

1

100

)×

1

99

×(1+

1

98

)…(1+

1

10

)×

1

9

×(1+

1

8

)…(1+1)
注意到1=

1

2011

(1+

1

2010

)(1+

1

2009

)…(1+

1

1000

)×(1+

1

999

)×(1+

1

998

)…(1+1)
兩式相除即得p=

1

1000

×

1

100

×

1

10

=

1

106

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查概率知識(shí)的運(yùn)用，搞清計(jì)算器上顯示n的時(shí)候按下按鍵，產(chǎn)生給定的數(shù)m的概率是

1

n

，是解題的關(guān)鍵．