Question

15．已知數(shù)列{a_n}，a₁=$\frac{1}{3}$，前n項和S_n=n（2n-1）a_n，則數(shù)列{a_n}的通項公式是（　�。�

• A． a_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$
• B． a_n=$\frac{1}{（2n-1）（n+1）}$
• C． a_n=$\frac{1}{n（2n+1）}$
• D． a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$

Answer 1

分析 由S_n=n（2n-1）a_n化簡可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{2n+3}$，從而利用累積法求其通項公式．

解答 解：∵S_n=n（2n-1）a_n，
∴S_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1，
兩式作差可得，
a_n+1=（n+1）（2n+1）a_n+1-n（2n-1）a_n，
故$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{2n+3}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{5}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{7}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{5}{9}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-3}{2n+1}$；
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{5}$•$\frac{3}{7}$•$\frac{5}{9}$•…•$\frac{2n-3}{2n+1}$，
∴a_n=a₁•$\frac{1•3}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
故選D．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)，同時考查了方程思想與整體思想的應(yīng)用及化簡運算能力．