Question

【題目】如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=AC=AA1 ， ，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（I）求證：AD⊥平面BCC1B1；
（II）求證：A1B∥平面ADC1；
（III）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）因AB=AC，D為BC中點(diǎn)，故AD⊥BC 又因在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，CC1⊥平面ABC，故AD⊥CC1
又BC∩CC1=C，
故AD⊥平面BCC1B1
用向量方法證明本題請(qǐng)對(duì)應(yīng)給分．
本題可分別以AB，AC，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
也可分別以DC，DA，AD1（D1為棱B1C1中點(diǎn)）為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

（II）如圖，連接A1C∩AC1=E，連接DE．

因D、E分別是BC、A1C的中點(diǎn)，故DE是△A1BC的中位線
故A1B∥DE（6分）．因A1B平面ADC1
故A1B∥平面ADC1 ．
用向量方法證明本題請(qǐng)如下給分：求出平面ADC1的法向量，
因A1B平面ADC1 ，
故A1B∥平面ADC1
（III）解法一：連接B1A∩BA1=O，分別取OB、AB中點(diǎn)H、O1 ， 連接DH、DO1 ．

因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1是正方形且O1 ， H分別是BA，BO中點(diǎn)，故HO1⊥AB．
又因O1 ， H分別是BA，BC中點(diǎn)且AB⊥AC，故O1D⊥AB，
故∠O1HD就是二面角A﹣A1B﹣D的平面角．
設(shè)AB=2，則在Rt△HO1D中，∠HO1D=90°且 ，
故 ，故 ．
解法二：設(shè)AB=AC=2，則 ，故AB2+AC2=BC2 ， 故AB⊥AC，
又因三棱柱A1B1C1﹣ABC為直三棱柱，故AB，AC，AA1兩兩垂直，故可建系如圖．
則平面AA1B的法向量為 ．
又 ，
設(shè)平面A1BD的法向量 ，
則 ．
令z=1可得
設(shè)所求二面角為θ，由圖可知θ為銳角，故
【解析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可，（Ⅱ）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．（III）根據(jù)二面角的定義或者建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行，以及對(duì)直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．