Question

已知函數(shù)f（x）=

- 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0，x∈[0，1]）．若a∈[

1

2

，1]．則（　�。�

• A、?x₁，x₂∈[0，1]，f（x₁）=g（x₂）
• B、?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）=g（x₂）
• C、?x₁，x₂∈[0，1]，f（x₁）≥g（x₂）
• D、?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）≥g（x₂）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)給出的函數(shù)f（x）的解析式求出其值域為[0，1]，然后求出函數(shù)g（x）在x∈[0，1]上的值域，對選項一一考慮，通過值域間的包含關系和最值的大小關系，解不等式即可得到a的范圍，進而加以判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（x）=

2x3

x+1

，得f′（x）=

6x2(x+1)-2x3

(x+1)2

=

2x2(2x+3)

(x+1)2

，
當x∈（

1

2

，1]時，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（

1

2

，1]上為增函數(shù)，
則有f（x）∈（

1

6

，1]，
當x∈[0，

1

2

]時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，f（x）∈[0，

1

6

]，
所以在[0，1]上f（x）的值域為[0，1]，
函數(shù)g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0，x∈[0，1]），即有sin（

π

6

x）∈[0，

1

2

]，
所以g（x）的值域為[2-2a，2-

3a

2

]，
對于A，若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
說明函數(shù)函數(shù)g（x）的最大值與最小值中至少一個在[0，1]中，
所以0≤2-2a≤1或0≤2-

3a

2

≤1，解得：

1

2

≤a≤

4

3

，即有[

1

2

，1]⊆[

1

2

，

4

3

]，
故A正確；
對于B，若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）=g（x₂），
則有[2-2a，2-

3a

2

]⊆[0，1]，即為0≤2-2a≤2-

3a

2

≤1，解得

2

3

≤a≤1，則B錯誤；
對于C，若?x₁，x₂∈[0，1]，f（x₁）≥g（x₂），則有2-

3a

2

≤0，解得a≥

4

3

，則C錯誤；
對于D，若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）≥g（x₂），則有0≥2-2a，解得a≥1，則D錯誤．
故選：A．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的值域，考查恒成立和存在性問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值和值域問題，掌握函數(shù)值域的包含關系和最值的大小是解題的關鍵．