Question

設(shè)x，y滿足約束條件

2x-y-1≤0 x-y≥0 x≥0．y≥0

若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則

1

a

+

4

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求

1

a

+

4

b

的最小值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-

a

b

x+

z

b

的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由

2x-y-1=0 x-y=0

，解得

x=1 y=1

，即A（1，1）．
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的最大值為1即z=a+b=1，
則

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（a+b）=1+4+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=5+4=9，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

，即b=2a=

1

2

時(shí)，取等號(hào)，
故

1

a

+

4

b

的最小值為9，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．